INTEGRASI NUMERIK : METODE PIAS

Integrasi Numerik: Metode Pias, Segiempat, Trapesium, dan Titik Tengah

Pendahuluan

Integrasi numerik adalah teknik untuk menghitung integral secara pendekatan, terutama ketika integral tidak dapat diselesaikan secara analitik. Beberapa metode populer adalah metode Pias, Segiempat, Trapesium, dan Titik Tengah. Artikel ini menjelaskan masing-masing metode dan cara menghitung galatnya.

1. Metode Pias

Metode Pias membagi interval integrasi menjadi beberapa bagian kecil (pias), kemudian menghitung total luas pias-pias tersebut. Rumusnya:

I ≈ Δx ∑ f(x_i)

2. Metode Segiempat

Metode ini menggunakan nilai fungsi di titik awal setiap interval untuk mendekati luas segiempat:

I ≈ Δx ∑ f(x_i)

3. Metode Trapesium

Metode ini menggunakan pendekatan trapesium untuk menghitung luas. Rumusnya:

I ≈ (Δx / 2) [f(x₀) + 2∑ f(x_i) + f(x_n)]

4. Metode Titik Tengah

Metode ini menghitung nilai fungsi di titik tengah setiap subinterval:

I ≈ Δx ∑ f((x_i-1 + x_i) / 2)

5. Menghitung Galat

Galat integrasi dapat dihitung dengan membandingkan hasil pendekatan numerik dengan nilai eksak integral:

E = | I_eksak - I_numerik |

Contoh Implementasi dengan Python

Berikut adalah contoh implementasi metode-metode ini menggunakan Python:

import numpy as np

def f(x):
    return x**2  # Contoh fungsi

def metode_pias(f, a, b, n):
    dx = (b - a) / n
    return dx * sum(f(a + i * dx) for i in range(1, n+1))

def metode_segiempat(f, a, b, n):
    dx = (b - a) / n
    return dx * sum(f(a + i * dx) for i in range(n))

def metode_trapesium(f, a, b, n):
    dx = (b - a) / n
    return dx / 2 * (f(a) + 2 * sum(f(a + i * dx) for i in range(1, n)) + f(b))

def metode_tengah(f, a, b, n):
    dx = (b - a) / n
    return dx * sum(f((a + i * dx) + (a + (i-1) * dx)) / 2 for i in range(1, n+1))

# Contoh penggunaan
a, b = 0, 1
n = 10
integral_pias = metode_pias(f, a, b, n)
integral_segiempat = metode_segiempat(f, a, b, n)
integral_trapesium = metode_trapesium(f, a, b, n)
integral_tengah = metode_tengah(f, a, b, n)

# Cetak hasil
print("Metode Pias:", integral_pias)
print("Metode Segiempat:", integral_segiempat)
print("Metode Trapesium:", integral_trapesium)
print("Metode Titik Tengah:", integral_tengah)