Metode Faktorisasi ini ada juga yang menyebutnya sebagai Perkalian Dekomposisi

Jika matriks A non-singular maka ia dapat difaktorkan (diuraikan atau di-dekomposisi) menjadi matriks segitiga bawah L (lower) dan matriks segitiga atas U (upper): A = LU

Dekomposisi LU: Materi Lengkap

1. Pendahuluan

Dekomposisi LU adalah teknik yang sering digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Teknik ini memecah sebuah matriks A menjadi dua matriks segitiga: matriks lower triangular (L) dan upper triangular (U). Proses dekomposisi memungkinkan kita menyederhanakan penyelesaian persamaan linier dengan metode substitusi maju dan mundur.

2. Teori Dekomposisi LU

Matriks A dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari dua matriks: A = LU, di mana:

L adalah matriks segitiga bawah (lower triangular matrix) dengan elemen-elemen diagonal utama yang bernilai 1.
U adalah matriks segitiga atas (upper triangular matrix).

Jika kita memiliki sistem persamaan Ax = b, setelah dekomposisi LU, kita dapat menyelesaikannya dalam dua tahap:

Menyelesaikan Ly = b dengan substitusi maju.
Menyelesaikan Ux = y dengan substitusi mundur.

3. Algoritma Dekomposisi LU (Algoritma Doolittle)

Doolittle adalah salah satu algoritma yang digunakan untuk melakukan dekomposisi LU. Dalam algoritma ini, diagonal dari matriks L bernilai 1, sedangkan matriks U memuat elemen-elemen asli dari matriks A setelah dilakukan eliminasi Gauss. Proses dekomposisi melibatkan eliminasi elemen-elemen di bawah diagonal utama untuk membentuk matriks segitiga bawah L.

4. Implementasi Dekomposisi LU dalam Python

4.1 Menggunakan Library (Numpy)

Berikut adalah contoh implementasi menggunakan library numpy dan scipy:


        import numpy as np

        from scipy.linalg import lu



        A = np.array([[2, -1, -2],

                      [-4, 6, 3],

                      [-4, -2, 8]])



        P, L, U = lu(A)



        print("Matriks P:", P)

        print("Matriks L:", L)

        print("Matriks U:", U)

4.2 Tanpa Menggunakan Library

Berikut adalah contoh implementasi dekomposisi LU tanpa menggunakan library:


        def lu_decomposition(A):

            n = len(A)

            L = [[0.0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]

            U = [[0.0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]


            for i in range(n):

                for k in range(i, n):

                    sum_u = sum(L[i][j] * U[j][k] for j in range(i))

                    U[i][k] = A[i][k] - sum_u


                for k in range(i, n):

                    if i == k:

                        L[i][i] = 1.0

                    else:

                        sum_l = sum(L[k][j] * U[j][i] for j in range(i))

                        L[k][i] = (A[k][i] - sum_l) / U[i][i]


            return L, U

5. Kesimpulan

Dekomposisi LU adalah metode yang sangat efisien untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, terutama untuk sistem besar. Dengan memisahkan perhitungan menjadi dua tahap menggunakan matriks L dan U, kita dapat menyederhanakan proses penyelesaian persamaan. Implementasi dapat dilakukan secara manual atau menggunakan pustaka numerik seperti numpy untuk perhitungan yang lebih cepat.